C＃算法设计与分析－寻找素数

    在这篇文章中，我将使用C＃编制两个寻找素数的算法，说明算法设计的重要性以及算法的分析。

       素数寻找问题由来已久，一直是一些数学家追求的目的。关于素数的定义及性质，我就不在这里多叙了，相信大家都对此了如指掌。素数的寻找思路比较的简单，根据素数的性质（素数应该不能被除了1和它自身的其他数整除）我们可以从最小的素数2开始，一直到比它小1的数为止，用这些数去整除它，如果它能被整除则它必定不是素数，这是判断单个素数的方法（这个算法思想最简单，时间复杂度最大）。对于寻找比某一个给定的整数值小的所有素数也可以采用这种方法，不过我们会发现，采用这种单个判断的方法所耗的时间比较多。比如查找不大于10的素数，我们必须从2开始一个个判断，共需判断9个数，事实上按照我们后面讲述的方法，只需循环2次就可以了。因此，下面的两种方法都将基于删除法来做。

       我们来看看删除法的思想：

1．  将小于给定整数值n的所有正整数加到一个数组中；

2．  删除能够被一些整数整除的数；

3．  数组中遗留的元素就是最后要得到的素数序列。

对于第二步，我们将给出两种方法来实现。我们先来看看算法：

算法一：

class prime

     {

         public static int[] PrimeList;

         public  static void FindPrime(int n)

         {

              int[] IntList;

              IntList=new int[n];             

              for (int p=2;p<=n;p++) IntList[p-1]=p;

              for (int p=2;p<Math.Sqrt(n);p++)

              {

                   int j=p+1;

                   while (j<=n)

                   {

                       if ((IntList[j-1]!=0 ) && ((IntList[j-1]% p)==0) ) IntList[j-1]=0;

                       j=j+1;

                   }

              }

              int i=0;

              for (int p=2;p<=n;p++)

              {

                   if (IntList[p-1]!=0) i=i+1;

              }

              PrimeList=new int[i];

              i=0;

              for (int p=2;p<=n;p++)

              {

                   if (IntList[p-1]!=0)

                   {

                       PrimeList[i]=IntList[p-1];

                       i=i+1;

                   }                 

              }

         }

     }
 

这这个算法中，删除的数是那些被从2开始直到n的平方根的整数整除的数。这个算法比起前面介绍的单个素数的寻找方法要好，它的循环次数减少了一多半，但是这个算法还不是最理想的：

1．              例如，6既能被2整除，也能被3整除，那么当p＝2时，6被删掉了一次；当p＝3时，6又被删除了一次，虽然按照我们设定的算法规则，这不会导致冲突（通过判断IntList数组元素是否为0，若为0就不必重复删除），但是这会使得算法的效率低下。

2．              还有计算素数序列元素个数时，我们也走了弯路。第一步，我们先计算出了数组元素大小，第二步才开始赋值，事实上这两步我们可以减去计算数组大小这一步，可以把它放在前面完成。

3．              已经被删除了的元素，也就是那些不是素数的元素，可以不用拿他们去整除整数，例如4不用拿去整除8，因为能被4整除的数肯定能被2整除，已经在前面循环中被删除了。

基于上述考虑，我们得到了一个效率更加高的算法：

class primegood

     {

         public static int[] PrimeList;

         public static void FindPrime(int n)

         {

              int[] IntList;

              int len=n-1;

              IntList=new int[n];

              for (int p=2;p<=n;p++) IntList[p-1]=p;

              for (int p=2;p<Math.Sqrt(n);p++)

              {

                   if (IntList[p-1]==0) continue;

                   int j=p*p;

                   while (j<=n)

                   {

                       if (IntList[j-1]!=0 )

                       {

                            IntList[j-1]=0;

                            len=len-1;

                       }

                       j=j+p;

                   }

              }

              PrimeList=new int[len];

              int i=0;

              for (int p=2;p<=n;p++)

              {

                   if (IntList[p-1]!=0)

                   {

                       PrimeList[i]=IntList[p-1];

                       i=i+1;

                   }                 

              }

         }

     }
 

这个算法思想和前面的算法完全一样，不过改正了上面算法中不完善的一些内容。

为了说明这两个算法的效率区别，我们编制了如下的主程序来比较一下他们的差异：

static void   Main()

         {

              Console.WriteLine("Start!");

              DateTime mytime5=DateTime.Now;

              primegood.FindPrime(100000);

              /*for (int i=0;i<=primegood.PrimeList.Length-1;i++)

              {

                   Console.WriteLine(primegood.PrimeList[i]);

              }*/

              DateTime mytime6=DateTime.Now;

              TimeSpan timeadd3=mytime6-mytime5;

              Console.WriteLine(timeadd3.Ticks);

              DateTime mytime1=DateTime.Now;

              prime.FindPrime(100000);

              DateTime mytime2=DateTime.Now;

              TimeSpan timeadd=mytime2-mytime1;

              DateTime mytime3=DateTime.Now;

              primegood.FindPrime(100000);

              DateTime mytime4=DateTime.Now;

              TimeSpan timeadd2=mytime4-mytime3;

              Console.WriteLine(timeadd.Ticks);

              Console.WriteLine(timeadd2.Ticks);

         }

     }
 

通过运行这个程序，可以发现他们的差别是如此的大（前面的算法所耗时间几乎是后面算法的30－60倍），参见下图：

    事实上，这两个算法的时间复杂度近似为：⊙（n1.5）；⊙（n）；可见，对于同一个问题有着多种不同复杂性的算法实现，算法设计是一门十分重要的学问。